Теорія типів

Вже говорилося, що Рассел приймає функціональну трактування висловлювань, запропоновану фрегат. Однак його не все в ній задовольняє. Зокрема, Рассел не приймає фрегеанскую трактування функції як невизначуваного поняття. Нагадаємо, що з точки зору Фреге, виділення у висловленні функції і аргумент залежить від контексту та те, що розглядалася в якості функції, може ставати аргументом, і навпаки. Відштовхуючись від такого розуміння, Б. Рассел сформулював свій знаменитий парадокс. Якщо функція й аргумент знаходяться на одному і тому ж рівні, то, сконструювавши вислів, в якому один і той же вислів може розглядатися одночасно як функція й як аргумент цієї функції, можна прийти до протиріччя. У листі до Фреге Рассел наступним чином висловлює свої сумніву: «Ви стверджуєте, що функція може бути елементом невизначені. Я теж так вважав, але тепер цей погляд здається мені сумнівним через наступного протиріччя: Нехай w буде предикатом бути предикатом, не застосовні до самого себе. Докладемо чи w до самого себе? З будь-якої відповіді випливає протиріччя. Отже, ми повинні зробити висновок, що w не є предикатом. Також не існує класу (як цілого) тих класів, які, як ціле, є членами самих себе. Звідси я складаю, що за певних обставин безліч визначається не утворює цілого 7070»[69].

Прояснимо даний парадокс на прикладі. Згідно з кожної висказивательной функції можна утворити клас предметів. Наприклад, функції чайна ложка (х) індивідів відповідає клас, що задовольняють цю функцію (тобто під час заповнення місця аргументну, які роблять відповідний вислів істинним) і є чайними ложками. Принцип інтуїтивною абстракції дозволяє утворювати класи з будь-яким набором індивідів. Причому необмеженій при застосуванні цього принципу як індивідів можуть виступати і самі класи (т.е. вони самі можуть розглядатися як заповнюють аргументну місця відповідних функцій). Наприклад, функції клас предметів (х) буде відповідати клас всіх класів будь-яких предметів. При такому підході деякі класи можуть містити лише індивіди, а деякі - й індивіди, і класи, розглядаються в якості індивідів. Серед останніх особливо цікавими є класи, які містять себе у якості власних елементів. Наприклад, клас чайних ложок сам чайною ложкою не є, він складається з індивідів тільки, а клас всіх предметів, які не є чайними ложками, сам не буде чайною ложкою і, отже, буде членом самого себе. Освіта класів останнього типу залежить від можливості утворення таких функцій, які можуть бути на власні аргументами. Розглянемо ще один приклад. Візьмемо клас останнього типу, а саме клас всіх тих класів, які не є елементами самих собі (у функціональному виразі клас, що не є елементом самого себе (х)). Якщо ми поставимо собі тепер питанням про те, чи можна розглядати сам цей клас як задовольняє відповідну собі функцію, вийде протиріччя. Справді, якщо він її задовольняє, то він не повинен бути в собі самому, а якщо він її не задовольняє, то він повинен бути в собі самому.

Суперечність демонструє неприйнятність такого розуміння і функції аргументу, яке має місце в Фреге, але це ще не означає, що невірна функціональна трактування логічної структури висловлювання. Для розвязання парадоксу Рассел розробляє так називану теорію типів, що по суті зводиться до обмежень, що накладається на освіту класів, а отже, і відповідних висказивательних (пропозіціональних) функцій. Так, наприклад, він пише: «Спільність класів у світі не можливо класом в тому самому сенсі, в якому останні є класами. Так ми повинні розрізняти ієрархію класів. Ми будемо розпочинати з класів, які цілком складені з індивідів це буде перший типом класів. Тоді ми перейдемо до класів, членами яких є класи першого типу: це буде другий тип. Потім ми перейдемо до класів, членами яких є класи другого типу; це буде третій тип і т.д. Для класу одного типу неможливо ніколи бути чи не бути ідентичним з класом іншого типу 7171»[70]. На утворення класів необхідно накладати обмеження утворювати заборонивши класи, які могли б виступати в якості своїх власних елементів. Класи повинні утворювати строгу ієрархію, де перший рівень представляли б собою класи, які містять тільки індивіди, другий рівень - класи, які містять індивідів класи, треті рівень - класи, які містять класи індивідів класів, і т.д. Різні рівні вимагають різних засобів вирази, те, що можна сказати про індивідах, не можна сказати про їхніх класах, а те, що можна сказати про класах індивідів не можна сказати про класи класів індивідів і т.д. Загалом, це і складає сутність теорії типів.

У застосуванні до висказивательним функціями це означає, що жодна функція не призначена може бути застосовано до самої себе, те, що розглядається як аргумент, ніколи не повинно ставати функцією, і навпаки, на одному і тому ж рівні. Остання вимога закріплюється Расселом у теорії задовільної символізму. Зафіксувати тип - значить зафіксувати потрібний тип символу, що вказує на відповідне значення. З точки зору Рассела, призводить до парадоксів змішання різних типів, якого слід уникати. При такому підході, очевидно, потреба відпадає в оцінці контексту цілісного висловлювання. Значення символу повинне заздалегідь визначатися словарем, що сконструйований ієрархічним чином згідно з типами, а правила утворення виразів накладають обмеження на використання словника.

Теорія типів стає для Рассела універсальним методом вирішення парадоксів, не лише виявлені ним самим, а й відомих з давніх часів. Візьмемо, наприклад, парадокс брехуна. Коли хтось висловлює твердження "Я зараз брешу", то із традиційною точки зору, при спробі визначити істінностное значення цього твердження ми завжди прийдемо до протиріччя. Справді, оскільки бреше він, то хибним має бути і висловлене ним твердження, але, з огляду на його зміст, ми тоді повинні сказати, що воно правдиве. Якщо ж його затвердження істинно, то, відповідно до затверджується змістом, воно говорить про свою власну хибність і, отже, є помилковим. У будь-якому випадку виникає протиріччя. Але, використовуючи теорію типів, Рассел вирішує цей парадокс, розводячи з різними рівнями висловлювання, що про які говорить це твердження, і саме це твердження . З точки зору теорії типів, людина, стверджує, що він лже, має на увазі хибність принаймні одного висловлювання з класу висловлювань, які охоплюються його твердженням. Однак саме його твердження не має включатися в цей клас, оскільки воно відноситься до більш високого типу. Тому оцінка істінностная повинна релятівізіроваться щодо висловлених тверджень типу. -Яке твердження про висловлювання n-го типу само ставитиметься до n +1 типу і не повинна включатися в клас оцінюваних висловлювань.

Символічна система Фреге не задовольняє вимогам теорії типів, тому в ній і можна сформулювати парадоксальні затвердження.