Інтуїтивний формалізм і конструктивний номіналізм

Підсумковий, або логічний, етап творчості Лесьневского привела його до створення системи, що складається з трьох згаданих теорій - мереологіі, онтології і прототетікі. До правил і визначень в теоріях предявлялися жорсткі вимоги, які полягають насамперед у тому, що вони повинні були контролювати інтуїцію дослідника щодо реальності. Лесьневскій вважав, що кожна формалізована система щось і про щось говорить. Його висловлювання виражають звязок математики з дійсністю: У мене немає ніяких симпатій до всякого роду математичним ігор, які полягають в тому, що з допомогою тих чи інших умовних правил виписуються більш-менш красиві формули, не обовязково осмислені і навіть, як деякі гравці в математику вважають, з необхідністю позбавлені значення. Тому я не вкладав би праці в систематизацію та багаторазовий контроль правил моїх систем, якщо би не приписував твердженням цих систем абсолютно певного значення, при якому кодифіковані цими правил методи виводу і дефініції цих систем поза сумнівом інтуїтивно значущі. Не бачу ніякого протиріччя в тому, що вважаючи себе переконаним одночасно інтуіціоністом використовую в побудові своїх систем радикальний формалізм. Я працюю над представленням різних дедуктивних теорій для того, щоб в послідовності осмислених пропозицій виразити ряд думок, якими володію в тій або іншій області, для того, щоб виводити одні пропозиції з інших так, щоб це було в згоді з правилами виводу, які я вважаю інтуїтивно зобовязуючими. ([1929], S.78) Таким чином, формалізація для Лесьневского була засобом, а не метою самою по собі. Він вважав, що безліч технічних інновацій в логіці сприяє стирання [...] відмінності між математичними науками, які сприймалися як дедуктивні теорії та службовцями якомога більш точному науковому сприйняттю різнорідної дійсності миру, і такими несуперечливим дедуктивним теоріями, які насправді забезпечують можливість отримання на їх основі численних все нові й нові тверджень, відзначених однак одночасно відсутністю будь-яких повязують їх з дійсністю інтуїтивно-наукових переваг. ([1927], S.166) В цьому ж дусі Лесьневскій критикував архітектонічності рафіновані конструкції Цермело або ж фон Неймана, яких уважав чистими формалістами. У звязку з цим він писав: Внеінтуітівная математика не містить у собі дієвих ліків проти нездужання інтуїції. (S.167)

Творець мереологіі, онтології і орототетікі вірив, що логічна теорія описує світ і не може це робити довільним чином; вірив, що найкраще, а саме єдиним способом це робить класична, екстенсіональная і двозначна логіка. Тому він не виявляв ніякого інтересу до полісемічним логіка, які були для нього штучно сконструйованими системами, інтуїтивного позбавленими всякого сенсу. Тому він не виявляв ніякого інтересу і до формальної метаматематиці, мимовільним творцем якої був унаслідок формулювання ряду ідей, якими керувався в свої дослідження Тарський. Можливо, саме тому на нього не справили враження епохальні результати Геделя, що відносяться до обмеження формальних систем (неповнота, неможливість доказу несуперечності деяких систем в межах цих же систем), оскільки ці обмеження стосувалися саме систем внеінтуітівной математики.

Я. Воленскій [1985] справедливо вважає, що Лесьневскій поділяв погляди Брауера про звязок логіки з мовою математики, але не з її змістом; однак звідси не слід витягувати далекосяжних наслідків, оскільки інтуіціоністскій формалізм Лесьневского носить перш за все онтологічний характер, тоді як інтуіціонізм Брауера - епістемологічних. Саме на цій підставі Лесьневскій мав намір побудувати всю систему основ математики. При цьому слід правильно розуміти аподіктіческіе затвердження Лесьневского про моїй інтуїції або інтуїтивно для мене значущості. Це не означає, що Лесьневскій вважав критерії значущості в логіці суб `єктивними. Прототетіка є певною версією числення висловлень і логічна значущість її тверджень нічим не відрізняється від логічної значущості тверджень звичайного числення висловлювань. У свою чергу, онтологія є теорією імен, логічна значущість тверджень якій розуміється на загальних засадах. Субєктивізм Лесьневского має місце лише в мереологіі і стосується єдино трактування поняття множини. Саме в мереологіі інтуїція Лесьневского нетривіальну роль починає грати, тоді як онтологія та прототетіка - цей способи реалізації цієї інтуїції.

Поява мереологіі, або, як ще називав її спочатку Лесьневскій, Загальної теорії множин відбулося одночасно з виникненням довіри до формальним способів запису тверджень про класи, множини і т.п. утвореннях. Початок відходу від общеграмматіческіх і логіко-семантичних засобів нотації книжка поклала Я. Лукасевича Про принципі суперечності у Аристотеля. [1910] З неї Лесьневскій вперше дізнався про існування на світі символічної логіки Бертрана Рассела, а також про його антиномії, стосується класів класу, які не є своїми елементами. ([+1927], S, 169) Проте першим знайомство з символічної логіки, як вже згадувалося, наповнило Лесьневского огидою до неї і, як він вважає, не з його провини. Бруски, на якому відточувалася інтуїція Лесьневского у формальному викладі, стали Принципи математики Уайтхеда і Рассела. Не будучи згодним ані із стилем цього твору, ні з запропонованим у ньому рішенням антиномії Лесьневскій прийняв виклик, можливо, ще й через свого ставлення до Г. Фреге, про який писав: найбільш імпонують втіленням результатів, досягнутих в працях з обгрунтування математики у справі солідності дедуктивного методу, а також цінним джерелом цих результатів з грецьких часів досі є для мене Основні закони арифметики Фреге Готтлоба. ([1927], S.160)

Критика Лесьневского починається наступним зауваженням: З причин сумнівів семантичного характеру, які охопили мене при безрезультатних спробах прочитання робіт, написаних логістика, кожний може дати собі звіт, якщо уважно проаналізує коментарі, якими рр.. Уайтхед і Рассел забезпечили окремі типи виразів, що входять в теорію дедукції, і розсудити при цій можливості, скільки в висловлених коментарях вміщається рафінованого обману, призначеного для читача, привчені більш-менш серйозно ставиться до того, що він читає. ([1927], S.170) Лесьневскій задається питанням про сенс виразу +: p. E. p U q, що є однією з аксіом числення пропозицій у Принципах математики. Ця пропозиція пояснюється в коментарях Расселом і Уайтхед так: якщо p істинно, то p або q неправдиве. На думку Лесьневского, цей коментар не надто багато проясняє й тому треба звернутися до коментарів, стосується виразів типу: +: p, p E q, p U q, оскільки саме цього виду вирази входять частинами в аналізовану аксіому. Словесні коментарі Рассела і Уайтхеда можуть бути зрозумілі двояко, вважає Лесьневскій. Відповідно до одного з них, у пропозиції, яка підлягає затвердженню, відповідає пропозиція, розміщене після знаку затвердження + й пікселів, тоді як друге трактування припускає затвердження всього виразу. У звязку з цією двозначністю у Лесьневского виникають наступні питання: 1) Якщо деякий вираз p є пропозицією, то твердження p, тобто вираз +. p також пропозиція? 2) Якщо деякий осмислений вираз p є пропозицією, то відповідний вираз типу +. P володіє тим же змістом? 3) Чим власне є аксіоми і пропозиції - вони суть виразами типу +. P, або ж висловами, знаходяться після знака твердження?

На думку Лесьневского можна сформулювати три різні концепції, що відповідають на поставлені питання. Концепція A. Ця концепція полягає у визнанні того, що знак + стверджує те саме, що оборот стверджується, що, а всі вираз +. P - те саме, що оборот стверджується, що p. Тому, якщо вираз p є пропозицією, то вираз +. P має той же зміст, що і пропозиція стверджується, що p, але інший зміст, ніж пропозиція p. Аксіоми і теореми є повністю вирази типу +. P. Концепція B. Знак затвердження значить те саме, що оборот тим, що написано, стверджується, а вираження типу +. P може бути прочитане з допомогою цього обігу так: тим, що написано, затверджується p. Якщо p - пропозицію, то вираз +. P не є пропозицією. Воно складається із трьох частин. Знак є твердження пропозицією, що складається з одного виразу, якому в природній мові відповідає пропозиції тим, що написано, затверджується; наступною частиною є точка (набір точок), а третє - пропозиція p. Ця цілісність, не будучи пропозицією, не мати може того самого змісту, що пропозиція p. У звязку з цим аксіомами і теоремами не є вирази типу +. P, але частини цих виразів, наступні після знака затвердження і точок. Концепція C. Сенс вирази +. P такий самий, як і пропозиції p, а вирази типу +. P можна без зміни їхнього змісту прочитати так само, як їх частини. тобто вирази типу p. Тому висловлювання на кшталт +. P, а так само аксіоми і теореми пропозиції суть системи. При цьому доводиться домислювати, що використання знака твердження є для читача вказівкою те, що в систему прийняті ті і тільки ті пропозиції, які містять знак затвердження.

Всі три рішення, на думку Лесьневского, викликають серйозні побоювання. Відносно концепції A, слід зауважити, що коли вирази типу +. P мають таке ж значення, що оборот стверджується, що p, то тоді ці пропозиції є пропозиціями про творців системи; багато таких пропозицій взагалі не є системою логіки, але дедуктивної сповіддю творців теорії коментарів. Щодо концепцій B і C Лесьневскій помічає, що, коли знак утвердження повинен виконувати роль профілактичну, усуваючи читача сумніви щодо того, стверджується чи якийсь символічне пропозицію, то Рассел і Уайтхед, надходять непослідовно, оскільки забезпечують знаком утвердження пропозиції, яких не стверджують в системі, що як наприклад тоді, коли знак утвердження передує послідовності деяких пропозицій, які не є теоремами логіки.

Далее Лесьневскій займається аналізом сенсу заперечення. Приводом є наступна дефініція в Принципах математики:. P E q.=. u pUq. У звязку з цією дефініцією пропозиції типу q. E.pUr можна інтерпретувати за допомогою пропозицій типа (1) u q. U.pU r. Заперечення тут Який сенс? - Запитує Лесьневскій. Рассел і Уайтхед вважають, що символ u p представляє пропозиція не-p або p є брехня. Але, якщо вираз p є пропозиція, то пропозиція типу p є брехня може матиме сенс тільки тоді, коли p субєкт пропозиції p є брехня виступає в матеріальній суппозіціі (згадується). Зрештою пропозицію p є брехня є пропозицією про пропозицію p, значущим те саме, що пропозиція <p> є брехня; субєкт цього пропозиції, тобто вираз <p> є імя пропозиції p і не виступає, мабуть, у матеріальній суппозіціі. Лесьневскій ставить авторам Принципів надмірно недбале користування лапками. А це призводить до того, що читач змушений додумувати, що пропозиція p є брехня і пропозиція є <p> брехня означають одне й те саме. У кінцевому рахунку з пропозиції (1) ми отримуємо дві пропозиції, які є інтерпретаціями вирази u q. U.pU r:

(2) не-q. U.pU r,

(3) q є брехня. U.pU r.

Аналогічна ситуація виникає при інтерпретації виразів типу pUq, які Рассел і Уайтхед ототожнюють з пропозицією p є істина або q є істина. Але до p є істина застосовні заперечення, аналогічні тим, що були застосовні до p це неправда, внаслідок яких розглядається пропозиція інтерпретується як <p> є істина. Застосовуючи до (2) і (3) різні комбінації оцінок і трактувань модусів виразів p і q в інтерпретації виразу pUq ми отримаємо, зауважує Лесьневскій, інші способи прочтения цих пропозицій, а інші зявляються тоді, коли ми захочемо q є брехня замінити пропозицією не - q правдивий, загалом Лесьневскій приводить 17 інтерпретацій пропозиції типу q. E.pU r і всі вони можуть бути на основі цієї металогіку вважатися рівнозначними.

Підсумовуючи критичні зауваження, Лесьневскій писал: Спілкуючись більш-менш систематично з роботою рр.. Уайтхеда Рассела і з 1914 р. особисто я лише через чотири роки зрозумів, що зразки т.зв. теорії дедукції за не звернення уваги на знаки затвердження стають зрозумілими і починають триматися разом, якщо що входять до їх складу пропозиції типу u p, pUq, pEq і т.д. послідовно інтерпретувати за допомогою відповідних пропозицій типу не p-, p або q, якщо p, то q і т.д., доповнених у випадку можливих непорозумінь лапками, і в жодному випадку - всупереч коментарям авторів - я не вважаю припустимим прочитання зазначених прикладів за допомогою пропозицій, що стосуються пропозицій ж і затверджують будь-які відносини, що, приміром, відношення імплікації між пропозиціями. ([+1927], S.181)

Ці роздуми Лесьневского, написані в 1927 р. і що відносяться до періоду 1917-1918 рр.. привели його до низки фундаментальних ідей. Однією з найважливіших була послідовне розрізнення мови і метамови: пропозиція якщо p, то q належить до мови, а пропозиція якщо <p> істинно, то <q> істинно - до метамови. Логічна система повинна конструювати в предметному мові, а коментуватися - в метамови; змішування мови з метамовою приводить до непорозумінь і неясності. Для себе зясувати ситуацію з предметним мовою і мовою коментарів до нього (метамовою) Лесьневскій відчув довіря до символічного мови, до якого раніше ставився скептично.

І нарешті, останній урок, що витягнув для себе Лесьневскій з штудій Принципів математики. Йдеться про проблему екстенсіональності. Коментуючи праця Рассела і Уайтхеда, Лесьневскій вказав на труднощі, які виникають у звязку з оборотом стверджується, що. Нагадаємо, що на його думку прочитання тверджень логіки з допомогою цього обороту призводить до розуміння логіки як дедуктивної сповіді творців теорії коментарів. Вираз стверджується, що є інтенсіональні оператором, а його вживання приводить, крім труднощів підстановкою з, до психологізму. Огида до інтенсіональні операторам (або функторів, як польська традиція їх називає) у Лесьневского було розвинене так сильно, що інтенсіональні контексти він вважав взагалі лежачими поза сферою логіки. Для Лесьневского термін логіка був просто рівнозначний терміну екстенсіональная логика.

Отже, критики результатами Лесьневскім Принципів математики виявилися два важливих положення: по-перше, розподіл мови і метамови і, по-друге, переконання в екстенсіональності всієї логіки.