Виникнення і формалізація модальних логік

Багатозначні логіки являють собою оригінальний і цікавий напрямок у логіці. Їхня поява часто повязують з широко відомою проблемою «майбутньої випадковості».

У девятій главі трактату «Про тлумачення» Арістотель ставить наступну проблему: чи вірно, що щодо одиничного і разом з тим майбутнього події всяке твердження або заперечення істинно або хибно? Чи вірно, наприклад, що щодо завтрашнього морської битви істинно або хибно твердження «завтра морський бій відбудеться» або заперечення «завтра морський бій не станеться?» Зміст знаменитого фаталістичного аргументу Аристотеля можна представити таким чином. Нехай зараз правдиво, що завтра буде морський бій. З цього випливає, що завтрашнє морський бій є необхідним, так як не можливо, аби завтра не було морського бою, інакше сьогодні не було б правдиво, що морська битва завтра відбудеться. Подібне міркування можна сформулювати і для випадку, коли зараз помилково, що морська битва завтра відбудеться. Зараз істинно або хибно, що завтра буде морський бій. Значить, або необхідно, що воно відбудеться, або необхідно, що воно не станеться. Виходить, що все що відбувається, відбувається за потребою, випадкових подій немає.

Зазначена проблема виявилася напрочуд продуктивної для розвитку логіки: поширеним є думка, що саме численні спроби логічної реконструкції підходу Аристотеля до вирішення проблеми майбутньої випадку привели до появи багатозначних логік.

Слід зазначити, що ідея багатозначних логік має історію давню. Непорушність принципу логічної бівалентності, або двозначності, відповідно до якої кожен вислів є істинним чи хибним, піддавалася сумніву вже в середньовіччі. Деякі дослідники наголошують , що зокрема, ще Петро Аврелій висловлював припущення про можливе обмеження зазначеного принципу з метою збереження випадковості, ставши, таким чином, до ідеї третього значення досить близько. Багато дослідників (Ф. Бенер, А. Прайор, Белтс П. та ін) стверджують, що чітка ідея тризначної логіки проглядається у Оккама, хоча остання й не продовжив досліджень у цьому напрямку.

Тим не менше, розвиток багатозначних логік як окремого напрямку звязується, перш за все, з імям Яна Лукасевича. Такі роботи Лукасевича, як статті «На захист логістики» та «Про детермінізм», монографія «аристотелівська сіллогістіка з точки зору сучасної формальної логіки» по праву входять до числа класичних творів сучасної філософії і логіки. «Філософію необхідно перебудувати, починаючи з підстав, вдихнути у нього науковий метод і підкріпити її новою логікою» - таке завдання видається Лукасевичу найважливішої в контексті його наукового кредо.

Проблема, яка найбільше цікавила Лукасевича - це проблема детермінізму. При цьому, під детермінізмом він розумів "точку зору, говорить, що якщо А є b в момент t, то справді в будь-який момент, що передує t, що А є b в момент t.» Детерміністських точка зору, на думку Лукасевича, «дивна і зовсім не очевидна» . Він докладно розглядає два найсильніших аргумент на її захист: перший, йде від Аристотеля, грунтується на принципі виключеного третього, другого - на фізичному принципі причинності. Лукасевич показує, що другий аргумент індетермінізму не виключає, тобто що «можна бути глибоко переконаним, що нічого не походить і без причини та що кожна подія має своєю причиною яке-небудь подія минулого, але тим не менш, не бути детерміністом.» Бажаючи зруйнувати фаталістичним аргумент Аристотеля, Лукасевич приходить на необхідності відмовитися від принципу двозначності, тому що вважає, що доводи Аристотеля не стільки підривають принцип виключеного третього, скільки саме принцип двозначності. Розрізнення принципу двозначності (бівалентності) і принципу виключеного третього слід відзначити як серйозне досягнення Лукасевича. А.С. Карпенко, наприклад, відзначає змішування принципу бівалентності до закону виключеного третього як досить поширену помилку і таким чином характеризує що має місце відмінність: "Різниця між зазначеними принципами є більш глибоким, навіть фундаментальним, ніж це можна висловити на формальному рівні. Принцип бівалентності застосовується лише до висловлювань та тому є лише логічним принципом, тобто принципом теорії істинності, в то час як тримання закону виключеного третього нітрохи не вичерпується формою р. U O р., оскільки окрім свого логічного статусу має ще металогіческій і онтологічний статус 254254»[253]. У вже згаданій статті «Про детермінізм" Лукасевич оскільки характеризує принцип двозначності: «Цей принцип, з огляду на те, що він лежить в основі логіки, не може бути доведений. Йому можна тільки довіряти, а йому довіряє той, кому він здається очевидним. Тому мені ніщо не перешкоджає цього принципу не визнати і прийняти, що, крім істинності і хибності існують ще інші логічні значення, принаймні, ще одне, третє логічне значення ».

Т.ч., невизначені висловлювання, до яких належать і висловлювання про майбутні випадкових події, на думку Лукасевича, не є ні істинними, ні хибними, їм притаманне інше істінностное значення. Цим висловлюванням не відповідає ні буття, небуття ні, але тільки можливість. Т.ч., Лукасевич вводить в логіку третій істінностное значення проміжне між «істиною» і «брехнею», яке він інтерпретує як «можливість». Так Лукасевич руйнує фаталістичним аргумент Арістотеля. Причому, спосіб вирішення приватної проблеми в даному випадку не менш важливий, ніж результат. Не можна не погодитися з Лукасевич, котрий стверджував, що введення третього значення в логіку зраджує її дощенту, що тризначна логика відрізняється від двозначної не менше, ніж системи неевклідової геометрії від евклідової геометрії.

Чи існувала й існує і досі тенденція повязувати індукцію з ймовірносним підходом або, як його називали раніше, особливо логіки, з правдоподібністю? Спочатку Лукасевич був прихильником т.зв. інверсної теорії дедукції, згідно якої індукція є міркуванням, в якому відшукується логічна підстава для одиничних пропозицій досвіду. Звязок індуктивних і дедуктивних міркувань він узагальнив, слідуючи Твардовського, в понятті міркування як процесу. Лукасевич розрізняє підставу і наслідок, які не відповідають парі пакет-висновок, і у звязку з цією вводить напрям міркування . Якщо посилка є підставою, а закінчення - наслідком, то мова йде про дедуктивному міркуванні, а якщо посилка є наслідок, а висновок - підстава, то мова йде про міркуванні-редукції, або кажучи інакше, дедукція є знаходженням слідства по даній підставі, а редукція - підстави для цього слідства. Дедукція є надійною, безпомилковим міркуванням, тоді як редукція - всього лише правдоподібним. Але в 1909 році Лукасевич, аналізуючи формулу Лапласа p = n 1 / 2 n, по якій визначається правдоподібність того, що n +1 подія має властивість, що проявилося у n подіях, формулює аргумент, який ставив під сумнів осмисленість приписування індуктивним висновкам міри правдоподібності . Формула Лапласа стосується одиничного події, тоді як у індуктивному укладанні мова йде про правдоподібності генералізацію. Можна скористатися т.зв. узагальненою формулою Лапласа p = n 1 / n + 1 m, де m - ця кількість подій, генералізацією охоплених, а n - базис індукції (число спостережуваних подій). Бо m набагато більше n, то p не повинна перевищувати 1 / 2, а якщо m прямує до нескінченності, то p - до нуля. Тому Лукасевич в роботу Логічні підстави числення правдоподібності намагається зясувати, чому поняття правдоподібності не відноситься до пропозицій (суджень). Він вважає за, що меру правдоподібності можна приписувати пропозіціональним функціям у вигляді відношення числа аргументів, для яких вона істинна, до кінцевого числа всіх значень змінної. Пропозиції, тобто формули без вільних змінних бувають або істинними, або хибними і поняття правдоподібності до них не відноситься взагалі.

Таким чином, якщо істінностную оцінку вважати іменем пропозиції в непрямому вживанні, те, очевидно, ототожнити її з ситуацією неможливо. Тому Лукасевич залишає індукцію як опосередковуючи метод, що випереджає дедукцію і спрямована саме на ревізії міркування як поняття, що охоплює і індукцію, і дедукцію. Ця ревізія полягала у висловленні сумніви щодо універсальності двох найважливіших законів: принцип виключеного третього і принципу суперечності. Якщо другому з цих законів присвячена монографія Про принципі суперечності у Аристотеля , то о першій можна знайти згадку в короткому звіті Про принципі виключеного середнього . Вихідна позиція метафізика Лукасевича ревізії в обох цих законів одна. У звіті пише: [...] дві найважливіших онтологічних принципу, відомих як принцип суперечності і принцип виключеного середнього істинними самі по собі не є, але вимагають доказу; однак оскільки довести їх не можна підтвердити, особливо в застосуванні до реальних предметів, то їх слід вважати тільки припущеннями. Тому необхідність визнання цих принципів не має логічного джерела, але випливає з певних практичних потреб .

У міркування ревізії як процесу, зокрема, процесу приписування властивостей предметам саме останні сталі для Лукасевича на якийсь час метою аналізу, і тут можна знайти виразний вплив А. Мейнонга, в семінарах якого в 1909 р. в Граці брав участь Лукасевич. У висновках згаданого звіту він ставить під сумнів, підпадають під принцип виключеного середнього спільні предмети, такі як трикутник взагалі, людина взагалі і т.д. Проте якщо йдеться про реальні предметах, - веде далі Лукасевич - принцип виключеного середнього, здається, залишається на тісному звязку з постулатом повсюдною детермінації явищ, не лише теперішніх і минулих, але й майбутніх . Обидва згадані принципи для Лукасевича є не чим іншим, як способом міркування, процесом, правильність, яке не вдається прийматися на віру і повинна бути піддана аналізу.

Робота Лукасевича складається з двох частин: історичної і систематичної. У першій він розрізняє три аспекту принципу протиріччя: онтологічний, логічний та психологічний.

    Онтологічний принцип протиріччя: жоден предмет не одночасно може володіти і не володіти одним і тим же властивістю. Логічний принцип протиріччя: два міркування, в одному з яких предмету приписується деяка властивість, а в іншому ця властивість заперечується, не можуть бути одночасно істинними. Психологічний принцип протиріччя: два переконання, які відповідають два суперечливих судження не можуть існувати в одному свідомості.

Потім Лукасевич показує, що хоча онтологічна та логічна формулювання принципу не рівнозначні, але для Аристотеля вони тотожні. Лукасевич згоден з цим поглядом Стагірита і надалі користується обома формулюваннями взаємозамінне. Що ж до психологічної формулювання, то її Лукасевич вважає емпіричним принципом, а тому доказ закону суперечності на підставі апріорних суджень, до яких належать також онтологічна та логічна формулювання, неможливо. Критика психологічного принципу суперечності як логічного закону є першим аргументом Лукасевича, що ставило під сумнів правильність поглядів Аристотеля на цей принцип. Другим аргументом, що викликала сумнів Лукасевича, служить теза, що можна знайти більш очевидний і простий принцип, ніж принцип суперечності і таким польський логік вважає принцип тотожності. Разом з тим - і це головний докір Аристотелю - Стагірит не є послідовним, оскільки, з одного боку, він вважає, що принцип суперечності недоказуем, а з іншого - формулює ряд його доказів. На думку Лукасевича всі докази (головним чином апагогіческіе) не вірні з формальної точки зору. Лукасевич вважає, що непослідовність Аристотеля можна пояснити психологічними мотивами: Здається, ніхто не відчував сильніше необхідність доказу принципу суперечності, ніж сам Аристотель; однак він не вмів і не міг погодитися з цим почуттям переконання, що принцип суперечності як принцип остаточний не може бути доведений. Тим самим він опинився в незручному положенні: заплутався в суперечностях в самому розгляді принципу суперечності . ([+1910], S.51-52)

Інші заперечення Лукасевича можуть бути зведені до наступних положень:

а) принцип суперечності як закон логіки не є ні достатньою, ні необхідним, бо можна міркувати дедуктивно або індуктивно і робити це несуперечливо;

б) принцип суперечності не вдається вивести з дефініції істини або брехні, як не вдається його вивести ні з принципу тотожності, ані з принципу подвійного заперечення;

в) можна навести формальний доказ принципу суперечності, використовуючи визначення предмету як чогось, що не володіє суперечливими властивостями, однак цей доказ буде формальним, а не предметним.

Так як для доказу принципу суперечності потрібно заздалегідь показати, що жоден предмет не є суперечливим, в чому Лукасевич вельми сумнівається, то свою монографію він закінчує словами: Оскільки принцип суперечності предметно не вдається довести, не дивлячись на те, що такий доказ необхідно, то він не має логічного цінності. Зате він має важливу практично-етичну цінність, будучи єдиним захистом проти помилок і брехні .- Тому ми повинні його прийняти.

Отже, виявляється, що для Лукасевича логічне підстава не є єдиним і навіть найважливішим мотивом в рішенні прийняття тих чи інших суджень: властивість істинності судження переводиться в етичну площину, як потім виявиться, але з метою звільнитися від формальних обмежень, а тим самим і від самого принципу суперечності. У цьому випадку етичні мотиви зіграли роль метатеоріі.

І нарешті слід відповісти на питання: яку роль зіграла монографія Про принципі суперечності у Аристотеля в процесі формування ідеї багатозначною логіки? На перший погляд вплив цієї праці може показатися мінімальним, оскільки про неї Лукасевич майже не згадує в своїй подальшій творчості . Можна припустити, що Лукасевич зайняв позицію, подібну до тієї, що і Лесьневскій, керуючись аналогічними мотивами, а саме, він вважав, що робота О принципі суперечності у Аристотеля є метафізичної, надмірно обтяжливою логіку онтологією. Адже в логічному періоді Лукасевич поділяв абсолютно інші погляди на відношення логіки і онтології. Коли він сформулював систему багатозначною логіки, то вважав, що досвід може і повинен вирішити, яка логіка є формальною моделлю світу. Ще пізніше, в період II світової війни, Лукасевич схилявся до погляду, що вибір логіки є справою конвенції. У такий спосіб, очевидного мотиву повертатися до своєї першої книжки у Лукасевича не було. Ще пізніше виявилося, що з точки зору багатозначною логіки історично більш цікавими були погляди Аристотеля на принцип виключеного третього, ніж на принцип суперечності. І все ж таки слід визнати, що ревізіоністські інтенції Лукасевича мало залежали від обєкту дослідження і були спрямовані на метод міркування. Логіка закони були єдино приводом для виявлення меж упевненості логічних міркувань. Коментуючи вислови Аристотеля про майбутні випадкові події (відома проблема морського бою) Лукасевич дійде висновку, що Стагірит сумнівався в універсальності принципу виключеного середнього, тоді як рішучим прихильником двозначності були стоїки на чолі з Хрісіппом. Тому Лукасевич називає нову, тризначну логіку не неарістотелевской, а нехрісіпповой.

У такий спосіб, у двадцяті роки принцип двозначності в роздумах Лукасевича зайняв місце принципу суперечності. Обидва цих закону не можуть бути доведені і одержують тому статус принципів, але на відміну від принципу двозначності принцип виключеного третього не потребує захисту у вигляді аргументів практичного і етичного характеру, оскільки виявилося, що введення в розгляд більше двох істінностних оцінок дозволяє послідовно будувати логічну систему. Але найбільш значуща відмінність цих принципів у роботах Лукасевича полягало в тому, що принцип суперечності трактувався як звичайний логічний закон, а принцип двозначності - як закон металогіческій. Тому виявилося, що конструкція нехрісіпповой логіки залежить не стільки від набору аксіом, скільки від метатеоретіческіх вирішення питань, бо коли Лукасевич писав Принцип протиріччя, він не розрізняв логіку і металогіку. Сумніву піддавався логічний закону (принцип суперечності) і немає нічого дивного в тому, що він отримав внаслідок фрагмент класичної логіки, а не нову, неарістотелевскую логіку.

Значення принципу двозначності було пізніше зясоване в дослідженнях Лукасевича, Лесьневского і Тарського. У звичайному численні висловів принцип двозначності сформулювати не вдається. Але в багатших логічних системах, наприклад, в прототетіке Лесьневского або в численні висловів із змінними функторів принцип двозначності є теоремою. Якщо в таких системах прийнято стандартне конюнкції визначення, дизюнкції та заперечення, то наслідком принцип двозначності будуть закони суперечності і виключеного середнього. Наприклад, без прийняття того, що заперечення істинного пропозиції помилково, а заперечення хибного пропозиції істинно, з принципом двозначності узгоджується пропозицію дві взаємно заперечують один одного пропозиції можуть бути одночасно хибними; ця пропозиція узгоджується з принципом двозначності до тих пір, поки не буде прийнято, що конюнкція двох помилкових висловлень - помилкова.

Повертаючись до семантиці тризначної логіки, тобто до проблеми детермінізму, відзначимо, що Лукасевич вважав, ніби з принципу принцип двозначності слід детермінізму, але не навпаки, і подібне ж співвідношення має місце між принципом тризначними і індетермінізму принципом, причому під індетермінізму Лукасевич розумів погляд, згідно якому в майбутньому відносно моменту t можуть виникнути події, не вирішеним в момент t. Наперед ж значення самої неарістотелевской логіки Лукасевич не береться, констатуючи єдино значення теоретичне, тобто як удавшуюся ревізію теоретичного методу міркування. А оскільки семантика такої логіки не була прояснена, то і практичне її значення залишається незясованим, але які мають для Лукасевича безперечну цінність. Чи буде і яке практичне значення мати нову систему логіки - цей, по його думку, зясується лише тоді, коли у світлі нових логічних законів будуть проведені докладні дослідження логічних явищ, що особливо мають місце в дедуктивних науках, і коли можна буде порівняти з досвідом слідства індетерміністского погляду на світ, що є метафізичним підставою нової логіки.

Перша тризначна логіка була створена Лукасевич в 1920 р. Лукасевич визначає значення логічних звязок для випадків третього істінностного значення.

При цьому, формула А - тавтологія, якщо при будь-якому приписуванні істінностних значень з безлічі a1, 0,5, 0 n пропозіціональним змінним, що входять у формулу А, вона приймає значення 1, яке називається виділеним істінностним значенням. Безліч тавтологію являє собою тризначну матричну логіку Лукасевича.

У 1922 р. він сформулював логіки n-значні для n n +3, де 0 інтерпретується як брехню, 1 - як правда, а всі інші числа в інтервалі від 0 до 1 як ступеня ймовірності, що відповідають різним можливостям. Зазначені n - значні логіки також будуються матричним методом.