Неметріческое напрямок математизації

Чим складніше досліджуване явище, тим важче вона піддається дослідженню кількісними методами, точної математичної обробки особливостей свого руху та розвитку і тим більш необхідним стає використання неметріческіх методів при його вивченні. Неметріческіе моделі дозволяють досліджувати різноманітні структурні характеристики і відносини систем. Математические методи, які використовуються при цьому такі: проективна геометрія, теорія груп, топологія, теорія множин і т.п. Вони дають можливість досліджувати системи та процеси в теоретичної фізики, квантової хімії, молекулярної біології, структурної лінгвістики. Питома вага цих методів у порівнянні з метричними все ще порівняно невеликий, але існує стійка тенденція до посилення їх ролі в науці.

Потреби розвитку самої математики, активна математизація різних галузей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності і швидкий прогрес обчислювальної техніки призвели до появи цілого ряду нових математичних дисциплін. Такі, наприклад, торію ігор, теорія інформації, теорія графів, дискретна математика, теорія оптимального управління та ін У науці XX в.резко зросло значення обчислювальної математики.

Математика як мова науки

Математика не тільки наука, а й мова науки.Вона є засобом для точного вираження наукової думки, для вираження функціональних і структурних відносин досліджуваних явищ, формулювання законів. Переваги мови математики:

• більш точний і короткий у порівнянні з природною мовою;

• дозволяє точно і однозначно сформулювати кількісні закономірності, властиві досліджуваним явищам.

Кількісний рівнянь мову, функцій та інших понять служить для опису різноманітних процесів, досліджуваних в конкретних науках. Він відіграє основну роль у математизації цих наук. Але поряд з ним і в математиці, і в її додатках використовуються різні формалізовані мови. Формалізована мова будується не для кількісного опису явищ реальних, а для логіко-математичного аналізу наукових теорій, їх структури, доказів. Найбільш розвинений і точний формалізований мову - числення висловлювань і предикатів. Рівняння математики і тотожно істинні формули логічного обчислення представляють собою спосіб вираження алгоритмів формально-аналітичної діяльності всередині наукового знання, що виражено у відповідних формальних системах; діяльності, спрямованої на вьивленіе закладеного в знанні змісту. Дійсно, будь-яка тотожно істинна логічна формула є не чим іншим, як правилом поведінки з висловлюваннями, що виражені у вигляді затвердження. Подібним чином, рівняння є математики записом правил відповідних знайомих символічних перетворень. Опції математики й формальної логіки, які представлені у вигляді обчислень сучасної символічної логіки, і полягають у тому, щоб дати науці достатньо розроблений і спеціалізований інструментарій алгоритмів можливих формально-аналітичних дій з наявним знанням.

Творці науки впевнені, що роль математики в приватних науках буде зростати в міру їх розвитку. «Крім того, - зазначає академік А.Б. Мігдал,-в майбутньому в математиці виникнуть нові структури, які відкриють нові можливості формалізувати не тільки природні науки, але в якійсь мірі і мистецтво ». Найважливіше, на його думку, тут в тому, що математика дає змогу сформулювати інтуїтивні ідеї і гіпотези у формі, що допускає кількісну перевірку.

Говорячи про прагнення «охопити науку математикою», В.І. Вернадський писав, що це прагнення, безсумнівно, у цілому ряді областей сприяло величезного прогресу науки XIX і XX століть. Однак математичні символи не можуть охопити всю реальність і прагнення до цього в ряді галузей знання призводить не до поглиблення, а до обмеження сили наукових досягнень. Не можна не помітити, що успіхи математизації вселяють деколи бажання «поцяткована» свій твір цифрами і формулами (нерідко без потреби), щоб надати йому «солідність і науковість». На неприпустимість цієї псевдонаукової затії звертав увагу ще Гегель. Вважаючи кількість лише однією сходинкою розвитку ідеї, він справедливо попереджав про неприпустимість абсолютизації цю одну (хоч і дуже важливою) ступені, про надмірне та необгрунтоване перебільшення ролі і значення формально-математичних методів пізнання, фетишизації мовно-символічної форми вираження думки.

Математичні методи треба застосовувати розумно, щоб вони не «заганяли вченого в клітку» штучних знакових систем, не дозволяючи йому дотягтися до живого, реального матеріалу дійсності. Кількісно-математичні методи повинні грунтуватися на конкретному якісному, фактичному аналізі цього явища, інакше вони можуть виявитися хоч і модною, але безпідставною, нічому не відповідає фікцією. Вказуючи на цю обставину, А. Ейнштейн підкреслював, що сама блискуча логічна математична теорія не дає сама по собі ніякої гарантії істини і може не мати ніякого сенсу, якщо вона не перевірена найбільш точними спостереженнями, можливими в науці про природу.

Розглядаючи проблему взаємодії форми і змісту знання, В. Гейзенберг, зокрема, вважав, математика - це форма, в якій ми висловлюємо наше розуміння природи, але не зміст. Коли в сучасній науці переоцінюють формальний елемент, роблять помилку і при тому дуже значну. Він підкреслював, що проблеми фізичні ніколи не можна вирішити виходячи з «чистої математики», і в цьому звязку розмежовував два напрямки роботи (і відповідно - два методи) в теоретичній фізиці-математичний і понятійний, концептуальний, філософський. Якщо перший напрямок описує природні процеси з допомогою математичного формалізму, то другий «дбає» в першу чергу про «прояснення понять», що дозволяє в кінцевому рахунку описувати природні процеси.

Абстрактні формули і математичний апарат не повинні затуляти (а тим більше витісняти) реальний зміст досліджуваних процесів. Застосування математики не можна перетворювати в просту гру формул, за якою не стоїть обєктивна дійсність. Ось чому будь-яка поспішність в математизації, ігнорування якісного аналізу явищ, їх ретельного дослідження засобами і методами конкретних наук нічого, крім шкоди, принести не можуть.